Троугао и њему приписани кругови

У датом DABC нека је O центар уписаног круга, а O₁, O₂, O₃ центри споља приписаних[1] кругова. Поред многих особина које имају наведени кругови, навешћемо неке.

А) Центар уписаног круга у троуглу је ортоцентар  у DO₁O₂O₃.

Доказ: На основу теореме да су симетрале унутрашњег и вањског сусједног угла троугла међусобно окомите, следи да је тачка О пресјек висина DO₁O₂O₃.

Б) Троугао DO₁O₂O₃ је стално оштроугли, без обзира какав је троугао DABC.

Доказ: Четвороугли O₁BOA, O₂COB и O₃AOC су тетивни, јер је ,  и . Докажимо да је  оштар, тј. да је мањи од правог угла.  .

Како је четвороугао O₁BOA тетиван, следи да је ,  . Отуда слиједи

. Аналогно се доказује и за остала два угла ,  да су оштри.

Други начин доказа: Како је четвороугао AO₁BO тетиван, биће  и , периферијски углови под истом тетивом.

, , .

В) Доказати да је сума тангентних дужи, конструисаних из било којег тјемена DABC на споља приписану кружницу наспрам тог тјемена, константна.

Доказ: CN=CP, CN+CP=(CA+AN)+(CB+BT), AN=AT, BP=BT. Отуда следи

CN+CP=(CA+AT)+(CB+BT)=

=CA+CB+(AT+TB)=CA+CB+AB=O_ABC.

Аналогно се показује да је AQ+AK= O_ABC и BM+BS= O_ABC.

Отуда CN+CP=AQ+AK=BM+BS= O_ABC=const.

Г) Доказати да се кругови описани око четвороуглова AO₁BO, OBO₂C и O₃AOC сијеку у тачки O.

1) Конструисати DABC ако су познати центри споља приписаних кругова.

2) Нека је L₁ средиште дужи O₁O, L₂ средиште дужи O₂O, L₃ средиште дужи O₃O. Доказати да је DL₁L₂L₃ сличан (хомотетичан) DO₁O₂O₃.

3) Доказати да су висине троугла симетрале углова троугла чија су тјемена поодножја висина у датом троуглу.

4) Конструисати троугао ако су познати центар уписаног круга у троугао и центри два споља приписана круга.