Основне школе РС

Наука

Републичко такмичење из математике
Република Српска, 2002.

Република Српска, Републички педагошки завод, Бања Лука 2002.

VI РАЗРЕД

Задаци 1-4:

1. Задатак: Доказати да не постоје природни бројеви m и n, m>n, који се записују истим цифрама али у различитом редосљеду, такви да је m-n=2002.

2. Задатак: Одреди најмањи број чланова групе ученика, ако је у тој групи више од 70% дјечака и бар двије дјевојчице.

3. Задатак: На основици AB једнакокраког троугла ABC дата је произвољна тачка N. Права n која садржи тачку N и нормална је на основицу сијече праве BC и AC  редом у тачкама P и Q. Ако је CD висина на основицу троугла доказати да је |NP|+|NQ|=2|CD|.

4. Задатак: Из једног тјемена разностраног оштроуглог троугла конструисана је висина, из другог симетрала угла, из трећег тежишна линија. Њихове пресјечне тачке су тјемена новог троугла. Доказати да тај торугао не може бити једнакостраничан.

Рјешења 1-4:

1. Рјешење: (1) Ако се природни бројеви m и  n записују истим цифрама онда постоје двије могућности: m и n су дељиви бројем 3, или  m и n дјељењем бројем 3 дају исте остатке. Дакле у оба случаја разлика m-n је дјељива са 3.

(2) Број 2002 није дјељив са 3.

(3) На основу (1) и (2) закључујемо да је m-n¹2002, тј. не постоје природни бројеви m и n који се записују истим цифрама и чија је разлика једнака броју 2002.

2. Рјешење: Нека је x број ученика у групи. (i) према услову задатка број дјевојчица у групи је мањи од 3/10 x. (ii) У групи су бар двије дјевојчице па вриједи: , тј. . (iii) Најмањи природни број који задовољава горњу неједначину је број 7. Дакле, најмањи број чанова групе ученика у којој је више од 70% дјечака и бар двије дјевојчице је 7.

3. Рјешење: (i)  (као наизмјенични),  (сагласни углови са паралелним крацима),  (слика VI-3). На основу ових једнакости закључујемо да је , тј.  је једнакокраки.

(ii) Нека је CM висина троугла CPQ. Четвороугао CDNM је правоугаоник па је |MN|=|CD|. Како је и |MP|=|MQ| добијамо: |NP|+|NQ|=|NM|-|MP|+|NM|+|MQ|, тј. |NP|+|NQ|=2×|MN|, односно |NP|+|NQ|=2|CD|.

4. Рјешење: Нека је CD висина, AS симетрала угла и BM тежишна линија. Њихове пресјечне тачке означимо са P, Q и R (слика VI-4). Претпоставимо да је DPQR једнакостраничан. Тада је ÐADP=60°, па је ÐPAD=30°, односно ÐCAB=60°. Даље је DAQM правоугли, јер је ÐAQM=60° и ÐMAQ=30°. Тачка M је средиште странице AC па је DABM@DBCM. Стога је ÐACB=60°. Из овог следи да су углови DABC сви по 60°, тј. DABC је једнакостраничан, а код једнакостраничних троуглова се висине, симетрале углова и тежишнице поклапају, па би се и тачке P, Q и R поклопиле, што је супротно чињеници да DPQR, при датим условима задатка, постоји.

Напомена: могло се одмах при закључку да је DABC једнакостраничан закључити да се ради о контрадикцији са претпоставком у задатку.

VII РАЗРЕД

Задаци 1-4:

ZADATAK 1.  Odredi sve trocifrene brojeve   koji su pet puta ve}i od proizvoda svojih cifara.

ZADATAK 2. Dat je polinom .

a)      Doka`i da ovaj polinom prima pozitivne vrijednosti za svaku realnu vrijednost promjenqivih  i .

b)      Odredi vrijednosti promjenqivih za koje polinom ima najmawu vrijednost. Kolika je ta najmawa vrijednost?

ZADATAK 3. U ravnokrakom trouglu  s osnovicom  kroz centar O upisane kru`nice povu~ena je prava  paralelno osnovici, koja sije~e krak  u ta~ki M i krak  u ta~ki

a)  Doka`i da je .

b)  Odredi obim trougla ako je , a rastojawe od ta~ke O do osnovice je .

ZADATAK 4.  Na stranici  trougla ABC odabrana je ta~ka D tako da su obimi trouglova ABC, ACD i  BCD redom 60 cm, 55 cm i 45 cm. Odredi du`inu du`i .

Рјешења 1-4:

Rje{ewe 1:  Prema uslovu zadatka imamo jednakost  Odavde zakqu~ujemo da su  sve tri cifre razli~ite od nule, jer bi u protivnom desna strana jednakosti bila ravna nuli, pa ne bi postojao trocifren broj . Daqe, desna strana je djeqiva sa 5, pa mora biti  i lijeva strana djeqiva sa 5, a to je mogu}e samo ako je . Dakle, sada imamo , ili . Odavde zakqu~ujemo da je  djeqivo sa 5, a to je mogu}e za b=2, ili b=7. Za b=2 dobijamo , {to je nemogu}e, jer je a cifra. Dakle, mora biti . Sada  lako nalazimo da je , pa je jedini broj koji zadovoqava uslov zadatka broj 175.

Rje{ewе 2: a) Dati polinom mo`e se transformisati na sqede}i na~in:

=

Po{to je zbir kvadrata realnih brojeva nenegativan broj, to zbog sabirka 2002  dati polinom prima pozitivne vrijednosti za svaki .

v)      Polinom prima najmawu vrijednost 2002 kada su izrazi u zagradama ravni nuli: , to jest kada je .

Rje{ewе 3:  a) Ta~ka O je presjeci{te simetrala uglova kod tjemena A i , pa je . Po{to je  paralelno sa , slijedi da je . Dakle, trougao  je jednakokraki i . Na isti na~in se dokazuje da je .

Prema tome, .

b) , pa slijedi . Isto  tako je . Otuda je obim trougla  : .

Rje{ewе 4:   Ozna~imo du`inu du`i  sa x (v. sliku). Kako je ,

, , to imamo , , . Kako je , sabirawem dobijenih jedna~ina nalazimo da je , ili , a odavde je .

VIII РАЗРЕД

ZADATAK 1. Saberemo li svaka dva od ~etiri racionalna broja dobi}emo ovih {est zbirova: 1, 2, 5, 6, 9, 10. Odredi te brojeve ako se zna da je 

Rje{ewe: Kako su zbirovi razli~iti, to su i tra`eni brojevi tako|e razli~iti. Po uslovu zadatka, u  datim zbirovima svaki od ovih brojeva u~estvuje kao sabirak  3 puta, pa imamo:

,

.                               (1)

Kako  po  pretpostavci o poretku datih brojeva mora biti

                              (2)

to je                             .                                   (3)

 Iz poredka datih brojeva zakqu~ujemo da za zbir  postoje dvije mogu}nosti:   ili .

   Ako  je , tada  iz jednakosti  (3) dobijamo  , a iz jednakosti  (2) dobijamo . Kona~no iz jednakosti (1) dobijamo . Ako  je , tada  iz jednakosti  (3) dobijamo  , a iz jednakosti  (2) dobijamo . Kona~no iz jednakosti (1) dobijamo .

   Dakle zadatak ima dva rje{ewa:  1) , ,  ; 

2) ,  ,  .

ZADATAK 2. Odredi sve cijele brojeve a za koje je izraz  tako|e cijeli broj.

Rje{ewe: Dati izraz mo`emo zapisati na sqede}i na~in:

.

Kako je cijeli broj, to i  mora biti cijeli broj, tj.  , odnosno .

ZADATAK 3. Du`ine osnovica trapeza  ABCD su jednake a i b  (a>b). Odredi du`inu du`i , , koja je paralelna osnovicama trapeza i koja ga dijeli na dvije figure jednakih povr{ina.

Rje{ewe:  Ozna~imo du`inu du`i  sa (v. sliku).  Povucimo du`i  paralelno sa ,  paralelno sa , . Po uslovu zadatka je , tj.

 , ili                  (1)

 ~ (za{to ?), pa  dobijamo: 

,  tj.                        (2)

Iz (1) i (2) slijedi:

,    ,    , .

Kona~no, du`ina tra`ene du`i je .

ZADATAK 4. Baza piramide je romb stranice a i o{trim uglom od 60⁰. Podno`je visine piramide je presjeci{te dijagonala romba. Kra}a bo~na ivica piramide jednaka je osnovnoj ivici piramide. Izra~unaj u funkciji od a povr{inu i zapreminu te piramide.

Rje{ewe: Ugao kod tjemena A romba je 60⁰, pa je trougao ABD јednakostrani~an (v. sliku). Visina  piramide je visina jednakostrani~nog trougla , pa je .

Nepoznatu bo~nu ivicu  mo`emo izra~unati iz pravouglog trougla 

:   ,. Zapremina piramide je  Povr{ piramide se sastoji iz povr{i romba i ~etiri podudarna jednakokraka trougla s osnovicom  i kracima (v. sliku desno). Izra~unajmo najprije visinu ovog trougla:

, pa je  .  Prema tome:

.

За VII и VIII разред задатке припремио: Борислав Мићић, РПЗ Бањалука