Основне школе

Наука

Школска 2003/04. година

Регионално такмичење из математике
Република Српска, 2004.

VI РАЗРЕД

Задаци

Одредити најмањи четвероцифрени број који је дјељив са 9 и чији је производ цифара једнак 180.

 2. Задатак:

Ако се ивица коцке повећа за 2 cm, површина коцке се повећа за 96 cm². Колика је запремина коцке?

3. Задатак:

У врећи се налази шећер у праху. Располажемо са два таса и једним тегом од 1 грам. Како ћемо са десет мерења измерити један килограм шећера?

4. Задатак:

Симетрале сусједних углова a и b су нормалне једна на другу. Израчунати те углове ако је a = b = 30⁰ 10¢ 20².

5. Задатак:

Дат је квадрат ABCD странице a=7 cm. Конструисати тачку М која је једнако удаљена од тачака A и B, а од тачке D удаљена за 5 cm.

Решења

Раставимо 180 на просте чиниоце, тј. 180=1·2·2·3·3·5. Према томе четири цифре које дају производ 180 су: (2,2,5,9), (2,3,5,6), (3,3,4,5), (1,4,5,9), (1,6,6,5). Збир цифара је дјељив са 9 у случају (2,2,5,9) и (1,5,6,6), па је најмањи тражени број 1566.

2. Задатак:

P₁-P₂=96(a+2)²-a²=96  a²+4a+4-a²=96   4a=92a=23

V=a³ = 23³ = 12167 cm³.

 3. Задатак:

Првим мјерењем измјеримо 1 грам шећера, другим мерењем на једном тасу сставимо измерени грам шећера и тег од 1 грама, те на тај начин измеримо још два грама шећера. Трећим мерењем тегом од 1 грам и три грама шећера меримо још 4 грама и имамо 7 грама шећера. После шестог мерења имаћемо 63 грама шећера. Седмим мерењем ставимо 63 грама шећера на један тас а на други тас тег и 62 грама шећера. На тај начин имамо 125 грама шећера. Осмим мерењем измеримо још 125 грама, деветим још 250 грама што укупно даје 1 килограм.

4. Задатак:

 Из услова задатка јасно је да збир углова a и b износи 180⁰. Ако саберемо збир и разлику ова два угла добијамо 2a =210⁰ 10^{`</sup>20<sup>``</sup>, односно a=105<sup>0</sup>5<sup>`}10^{``</sup>, odnosno b=74<sup>0</sup>54<sup>`</sup> 55<sup>``}.

5. Задатак:

 Тачка М се налази на пресеку симетрале дужи AB и кружнице са центром у тачки D и полупречником 5 cm.

VII РАЗРЕД

Задаци

 

 

.

 

 

2. Израчунати:
a) 1- 2 + 3 - 4 + 5- ... + 2001 - 2002 + 2003 – 2004;
b)1 - 3 + 5 - 7 + ... + 1997 - 1999 + 2001 - 2003.

3. Одредити целе вредности променљиве x за које је .

4. Дат је низ од 5 целих бројева. Напишу ли се сви могући збирови од по два броја овог низа, добиће се низ: 0,2,4,4,6,8,9,11,13,15. Наћи ове бројеве.

5.  Дате су тачке A и B и права s у равни a. Конструисати праве a, која садржи тачку и b која садржи тачку B, тако да права s полови један од углова кога чине праве a и b.

Решења

1.

2.

a)      Груписањем:   (1-2)+(3-4)+…+(2001-2002)+(2003-2004)=1002·(-1)=-1002  или

                                             1+(-2+3)+(-3+4)+…+(-2002+2003)-2004=1+1001-2004=-1002

            b)   Груписањем :  (1-3)+(5-7)+…+(1997-1999)+(2001-2003)=-2×501=-1002

3.

Û(1-x>0Ù1+x>0Ùx>0) Ú(1-x>0Ù1+x<0Ùx<0)Ú(1+x>0Ù1-x<0Ùx<0)Ú(x>0Ùx-1<0Ùx+1<0)Ûx<-1

 4.

Збир свих могућих 10 збирова је 72. Будући да се сваки од 5 непознатих бројева налази у 4 збира, то је збир тражених бројева: 72:4=18. Збир највећа два броја је 15, а збир најмања два броја је 0, па је средњи број трћи по величини број 3. У низу збирова други је збир првог најмањег и трећег броја (3), па је први од тражених бројева -1. Отуда добијеме да је други број 1, четврти 5, а пети 10. Дакле тражени бројеви су: -1, 1, 3, 5, 10.

5.

Тачки A одредити симетричну тачку A₁ у односу на праву s. Права BA₁ у пресеку са правом s даје тачку C. Праве AC и BC су тражене праве. Ако је права BA₁ паралелна са s онда је и права a паралелна са s.

VIII РАЗРЕД

Задаци

a)  

b)

2. Међу математичарима има 7% филозофа а међу филозофима 10% математичара. Има ли више математичара или филозофа? (Образложи!)

3. У једнакостраничном троуглу странице a=6 cm уписана је кружница k₁. Једноjedno теме троугла је центар кружнице k₂ полупречника . Израчунати површину лика између k₁ и k₂.

4. Краци трапеза су 39 mm и 45 mm, а дијагонала која је нормална на дужем краку има дужину 60 mm. Конструисати тај трапез па му израчунати обим и површину.

5. Двоцифрен број, сабран са бројем написаним истим цифрама али у обрнутом редоследу, даје број који је квадрат неког природног броја. Наћи све такве двоцифрене бројеве.

Решења

1.

2.

Нека математичара има M, филозофа F и оних који су и филозофи и математичари Z. Тада према услову задатка Z=10%M i Z=7%F. Одавде је M= F<F. Дакле, математичара је мање.

3.

Површину дела између две кружне линије добијемо као разлику површина кружног исечка трећине разлике површине троугла и круга k₁.

4. ZADATAK:

Нека је AC дијагонала нормална на BC. Тада можемо конструисати правоугли троугао ABC (дате катете). Затим из темена C конструишемо праву паралелну са AB. Пресек ове праве и кружне линије са центром у тачки A и полупречником 39 mm даје тачку D.

Из правоуглог троугла ABC добијемо дуж AB=75 mm. Висина трапеза је истовремено и висина правоуглог троугал ABC, па је израчунамо из површине овог троугла, h=36 mm. Пројекције кракова AD и BC на основицу AB израчунамо из правоуглих троуглова AFD и BEC и имамо AF=15mm и EB=27 mm. Из ових података добијемо основицу CD=33  mm. Дакле, обим O=192 mm, a P=1944 mm².

5. Нека су x и y цифре траженог броја. Тада је 10x+y +10y+x=n², где је n природан број. Сређивањем добијамо 11(x+y)=n², што је могуће само ако је x+y=11. Дакле тражени бројеви су  29,38,47,56,65,74,83,92.

IX РАЗРЕД

Задаци

2. Површина правилне четверостране пирамиде је 5a², где је a дужина основне ивице пирамиде. Изразити запремину те пирамиде у функцији од a.

3. У четвероуглу  ABCD нека су M и N средишта супротних страница AB и DC; затим, нека се дужи MD и AN секу у тачки P, а MC и BN у тачки Q. Доказати да је површина четвороугла MQNP једнака збиру површина троуглова APD и BCQ.

4. Одреди бројеве x, y и z за које је 4x² + 9y²+16z²-4x-6y-8z+3=0.

5. Нека се 10 кликера насумице баци на површину квадрата странице a=3 метра. Доказати да су бар два кликера међусобно удаљена мање од  метара.

Решења

1. Јасно је да је решење једначине уствари решење Диофантове једначине 5x+7y=2004. Како су примитивна решења једначина 5x+7y=1,  x₀=3 и y₀= -2 то су решења једначине 5x+7y=2004, x=3·2004=6012, y= -2·2004= -4008. Општа решења морају задовољити услов u>0, v>0, а ако u изразимо као u=6012+7t, a v kao v=-4008-5t то t мора бити између -857 и -802 што значи да има 55 различитих решења.

2. Из P=a²+2ah  Þ 5a²=a²+2ah  Þ 4a²=2ah Þ h=2a.

H²=h²-()²  ÞH²=4a²-=ÞH=

V=

3.

Означимо са h, h₁ и h₂ редом висине троуглова ABN, AMD и MBC. Висина h је средња линија трапеза коме су h₁ и h₂ основне ивице, па је h₁+h₂=2h. Нека је AB=a. Отуда излази да је

P_AMD+P_MBC=AM·h₁+MB·h₂=ah₁+ah₂=(h₁+h₂)=2h=P_ABN,

односно: P_AMD+P_MBC=P_ABN. Ако овим једнаким површинама одузмемо заједничке делове површи (троуглове AMP и MBG), преостали делови такође имају једнаке површине, па је  P_APD+P_BCQ=P_MQNP.

4.

4x²+9y²+16z²-4x – 5y – 8z + 3 = (2x-1)²+(3y-1)²+(4z+1)²=0Þx=

.

Сваки тачно урађен и коректно образложен задатак вреднује се са 20 бодова.

Време израде задатака је 120 минута.