Pitanja za maturski ispit iz matematike

Питања за матурски испит из математике
у Гимназији Бања Лука 2002.

← Назад у Наука

Матурски испит се полаже крајем четвртог, тј. завршног разреда гимназије. Ученик пише писмени рад из матерњег, српског језика и бира један од предмета који је имао све четири године. Ако је тај предмет математика, матурант уз помоћ ментора бира своју тему и пише реферат од око 18 страница формата А4. Другу оцену из математике ученик добија из одбране тог реферата, матурског рада, а трећу оцену добија из усменог одговора, три од следећих 120 питања.

1. Доказати да је ирационалан број.

2. Радећи дневно 8 часова 20 радника је зарадило 12000 динара за 15 дана. Колико часова дневно треба да раде 40 радника да би за 10 дана зарадили 10000 динара?

3. Раставити на просте факторе: .

4. Израчунати: .

5. Ријешити систем једначина: .

6. Ријешити по x неједначину: .

7. Графички ријешити систем линеарних неједначина:

8. Ријешити и дискутовати систем једначина: .

9. Доказати теорему: средња линија троугла паралелна је основици и једнака њеној половини.

10. Збир унутрашњих углова у сваком троуглу једнак је опруженом углу. Доказати теорему.

11. Нека су M и N средишта страница AD и CD квадрата ABCD. Дужи BN и CM се сијеку у P. Доказати да је AP=AB.

12. Централни угао је два пута већи од одговарајућег периферијског угла. Доказати теорему.

13. Тангентни угао је једнак одговарајућем периферијском углу. Доказати теорему.

14. Ако је четвороугао уписан у круг, онда су му наспрамни углови суплементни. Доказати теорему.

15. Збир двије наспрамне странице тангентног четвороугла једнак је збиру друге двије странице. Доказати.

16. Дата су два круга k и m, са центрима C и S, C≠S, који се сијеку. Кроз једну од заједничких тачака кругова поставити праву p, која на овим круговима одсјеца једнаке тетиве.

17. Конструисати троугао ABC коме је обим једнак датој дужи 2s, висина из тјемена C једнака датој дужи h_c и угао BAC једнак углу a.

18. Конструисати једнакостраничан троугао ABC, коме је дато тјеме A, а тјемена B и C припадају датим правама b и c.

19. У троуглу ABC дужи BD и CE су исте висине. Доказати да је ÐADE=ÐABC.

20. Ако је ABC правоугли троугао са правим углом ACB, тада је BC²+AC²=AB², односно a²+b²=c². Доказати.

21. Дате су дужи p и q. Конструисати дуж m, која је геометријска средина датих дужи.

22. Ако је тачка P ван круга k, у равни тог круга, тада је потецнија ове тачке у односу на круг k једнака квадрату одговарајуће тангентне дужи. Доказати теорему (златни пресјек дужи).

23. У полукруг уписати квадрат, тако да два тјемена квадрата припадају пречнику, а друга два кружном луку.

24. Израчунати: .

25. Упростити израз: .

26. Израчунати израз: , -1£x<1.

27. Упростити израз: .

28. Израчунати R(z) ако је и .

29. Дискутовати рјешања једначина, у зависности од вриједности реалних параметара (одредити природу рјешења): .

30. У једначини одредити реалан параметар k тако да решења задовољавају услов: .

31. Рјешити једначину: (биквадратна).

32. Рјешити једначину: (кососиметрична).

33. Једначина има тачно једно решење по x. Одредити x и k.

34. У каквој вези, независној од m, стоје решења x₁ и x₂ једначине: .

35. У каквој вези, независној од m, стоје решења x₁ и x₂ једначине: .

36. Одредити реалан број m, тако да једно решење дате једначине буде квадрат другог рјешења.

37. Рјеши неједначину: .

38. Рјешити неједначину: .

39. Одредити p тако да за свако реално x буде .

40. Одредити реалан параметар m, тако да збир квадрата решења једначине буде минималан.

41. Ријешити систем једначина: Ù .

42. Рјешити једначину: .

43. Рјешити једначину: .

44. Рјештити неједначину: .

45. Ријешити једначину: .

46. Ријешити једначину: .

47. Ријешити неједначину: .

48. Ријешити једначину: .

49. Доказати идентичност (аргументи су дати тако да су сви изрази дефинисани): ?

50. Израчунати: tgx+ctgx, ако је tg²x+ctg²x=2.

51. Доказати да је: .

52. Ако је и , при чему aÎ(0,p/2) и bÎ(0,p/2), доказати да је a-b=p/2.

53. Ако је a+b+g=p, доказати да је: .

54. Доказати да је: .

55. Упростити израз: .

56. Ријешити једначину: .

57. Ријешити неједначину: .

58. Ријешити систем једначина:

59. Израчунати: .

60. Израчунати: .

61. Ријешити неједначину: .

62. Површине страна квадра стоје у размјери 3:1:4. Израчунати површину квадра ако му је дијагонала дужине 39 cm.

63. Израчунати запремину праве тростране призме, ако је B=10cm², а бочне стране су: 25cm², 29cm² и 36cm².

64. Висина зарубљене пирамиде је H=15cm. Ако је B₁:B₂=9:4 и запремина V=475cm³, израчунати B₁ и B₂.

65. Дијагонала квадра има дужину 13cm, а дијагонале бочних стана cm и cm. Израчунати запремину квадра.

66. Правоугли троугао са катетама 7cm и 24cm ротира око сваке катете. Одредити размјере површина и запремина добијених обртних тијела.

67. Једнакостраничан троугао ABC странице AB=a ротира око праве h, која садржи тачку A и нормална је на AB. Израчунати површину и запремину добијеног обртног тијела.

68. Ријешити и дискутовати систем једначина:

69. Ријешити једначину:

70. Дата су тјемена паралелограма ABCD: A(1,-2,0), B(2,1,3), C(-2,0,5). Одредити координате тјемена D и површину паралелограма.

71. Израчунати површину троугла одређеног векторима и , ако је , и .

72. Наћи једначину праве p, која садржи пресјечну тачку правих a: x+2y-5=0 и b: 2x+3y-7=0 и нормална је на праву q: 2x-2y+5=0.

73. Ордредити координате ортоцентара троугла ABC, ако су једначине његових страница AB, BC, CA редом: x-y-2=0, 2x+y-13=0, 4x-y-5=0.

74. Наћи једначину тангенте круга описаног око троугла ABC, конструисане у тачки A, ако је: A(-1,8), B(-3,4), C(6,7).

75. Написати једначину тангенте круга , која сијече праву под углом од 45°.

76. Задана је елипса и права p: 2x+3y+15=0. Одредити на елипси тачку најближу датој правој и тачку најудаљенију од дате праве.

77. Дате су хипербола и парабола y²=16x. Одредити:

а) пресјечне тачке кривих; б) угао под којим се сијеку криве.

78. Написати једначину хиперболе којој је дата асимптота x-2y=0 и тангента 5x-6y-8=0.

79. Одредити прост број p тако да и број буде прост број.

80. Колики је остатак дијељења ?

81. Доказати да за сваки природни број важи једнакост

82. Доказати Муаврову формулу, тј. доказати да је

, .

83. Доказати да је дјељиво са 11 за сваки природан број n.

84. Између -2 и 46 уметнути 15 бројева, тако да сви заједно формирају аритметички низ. Колики је збир ових 17 бројева?

85. За које вриједности x бројеви log2, log(2^x-1) и log(2^x+3) представљају, у датом поретку, три узастопна члана аритметичког низа?

86. Колико чланова има геометријски низ, ако је збир првог и петог члана 51, збир другог и шестог 102, а збир свих чланова 3069?

87. Први члан аритметичког низа је 24. Написати првих десет чланова овог низа, ако први, пети и једанаести члан одређују геометријску прогресију.

88. Колико се пермутација може начинити од речи МАТЕМАТИКА?

89. Узимајући реч МЕТАР за почетни положај, пермутовањем добијамо ријеч ТРЕМА. Која је то пермутација по реду?

90. Од 10 срећака 3 сигурно доносе добитак. Катарина је купила 6 срећака. Колико постоји различитих могућности за куповину свих срећака, у којима Катарина има бар један добитак?

91. У развоју наћи члан који не садржи x, знајући да је коефицијент десетог члана највећи.