|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 |
Припремио: Брдар Славко, такмичар |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Учествовало је 479 такмичара из 84 земље свијета. У екипи БиХ било је 6 такмичара и то: Славко Брдар, Ивана Михајловић, Емил Илић Георгијевић, Дино Оглић, Александар Млађеновић и Милош Радоичић у пратњи лидера БиХ Зенана Шабанца, асистента на ПМФ-у у Сарајеву, и његовог замјеника Филипа Морића, студента 2. године ПМФ у Бањалуци. Екипа БиХ остварила је следећи успјех: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
За бронзану медаљу потребно је минимум 14 поена, за сребрну минимум 23 поена и за златну минимум 29 поена од 42 колико је максимални могући број поена. |
Припрема Олимпијске екипе БиХ одржала се у Сарајеву на ПМФ-у у трајању од 6 дана и то од 8.07. до 14.07. Предавачи су били: проф. Хасан Јамак, виши асис. Фарук Зејнулахи, проф. Шефкет Арслангић, мр Видан Говедарица, ..., те бивши олимпијци: Морић Филип (бронзана медаља), студент друге године ПМФ-а у Бањалуци, Тарик Хаџић (бронзана и сребрна медаља) и Махир Хаџић (бронзана и сребрна медаља). Након припрема у Сарајеву, пред пут је бла мала пауза до 22.07. кад су се олимпијци поново састали на сарајевском аеродрому. За Глазгов се ишло преко Беча и Лондона. На аеродрому нас је дочеко наш водич – Ени Пејџ, студент. Убрзо смо смјештени у Стратклајд универзитет. Већ сутра 23.07. била је церемонија отварања и цијели дан је био посвећен тој церемонији. 24.07. се писао први тест, након чега смо отишли у обилазак Научног центра у Глазгову. 25.07. се писао други тест, послије којег је био свечани ручак са нашим координаторима: лидером екипе БиХ Зенаном Шабанцем и његовим замјеником Филипом Морићем. Остали дани били су намјењени за излете и упознавање Глазгова. Следећег дана 26.07. отишли смо на Лејк Дистикт, 27.07. у Единбург, 28.07. на вожњу бродом по ријеци Клајд у Глазгову. Коначно, 29.07 било је затварање на којем су се додјељивале медаље. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Церемонији затварања присуствовала је шкотска принцеза, која је лично додјељивала златне медаље. 30.07. смо се враћали истим путем преко Лондона и Беча. На сарајевски аеродром дошли смо 30.07. у 15.30. |
1. Бугарски задатак.
Нека су  позитивни цијели бројеви такви да важи:
 ,  ,  и  . Да ли тада тачно:
 и  ? |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Ирски задатак.
Нека је  било који позитивни цијели број. Дефинишемо
 као низ и нека је
 , с тим да се низ
дефинише као:
 и  .Даказати да важи:  . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3. Белгијски задатак.
Функција |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Интервју: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
INTERNATIONAL MATHEMATICAL OLYMPIADUK 18-30 JULY 2002, Question Paper, Version: Serbian
Сваки задатак вреди 7 поена. Проблем 1. Нека је n природан број. Означимо са T скуп тачака (x,y) координатне равни за које су x и y ненегативни цели бројеви и x+y<n. Свака тачка скупа T обојена је црвено или плаво. Ако је тачка (x,y) обојена црвено, тако су обојене и све тачке (x’,y’) скупа T код којих је истовремено x’≤x и y’≤y. За скуп од n плавих тачака које имају међусобно различите x-координате кажемо да чине X-скуп. За скуп од n плавих тачака које имају међусобно различите y-координате кажемо да чине Y-скуп. Доказати да је број X-скупова једнак броју Y-скупова. Пороблем 2. Нека је BC пречник кружнице Г чији је центар О. Нека је А тачка на Г таква да је 0°<ÐAOB<120°. Означимо са D средиште лука AB који не садржи тачку C. Нека права кроз О паралелна DA сече праву AC у тачки J. Нека симетрала дужи ОА сече кружницу Г у тачкама Е и F. Доказати да је Ј средиште круга уписаног у троугао CEF.
Проблем 3.
Одредити све парове (m,n),
m,
n³3
целих бројева за које постоји бесконачно много природних бројева
a
таквих да је
Сваки задатак вреди 7 поена. Проблем 4. Нека је n природан број већи од 1. Нека су d1, d2, …, dk сви позитивни делиоци од n, при чему је 1= d1 < d2 < …< dk = n. Означимо: D= d1 d2 + d2 d3 + …+ dk-1 dk . (a) Доказати да је D < n2. (b) Одредити све n за које је D делилац од n2. Проблем 5. Одредити све функције f из скупа Â реалних бројева у скуп Â, такве да је (f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+yz) за све x, y, z из Â. Проблем 6. Нека су Г1, Г2, ..., Гn кружнице полупречника r у равни, при чему је n³3. Означимо њихове центре редом са О1, О2, ..., Оn. Претпоставимо да ни једна права нема заједничких тачака са више од две од ових кружница. Доказати да је
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
